Гэндальф: «Вот надпись. Она гласит: Вступи, друг, и скажи слово.»
Гимли: «Хм, значит нужен пароль?»
Леголас: «Или это загадка? Может, врата открываются только избранным?»
Фродо (задумчиво): «Но ведь здесь прямо сказано: скажи слово друг… Может, и впрямь нужно лишь произнести само слово?»
Гэндальф: «Меллон!»
Врата начинают медленно расходиться в стороны.
1. Странные последовательности
Возьмем квадратный трехчлен \(f(x) = x^2 + bx + c\) с вещественными коэффициентами и некоторое вещественное число \(x_0\). Будем строить последовательность \(x_{n+1} = f(x_n)\), \(n = 0, 1, 2, 3, \dots\). Исследуйте, при каких значениях \(b\), \(c\) и \(x_0\) эта рекуррентная последовательность \(x_1 = f(x_0)\), \(x_2 = f(x_1)\), \(\dots\) сходится. А если не сходится, как можно было бы описать поведение \(x_n\) при \(n \to \infty\)?