2. Экспериментальная математика

Лена интересуется и физикой, и математикой. Поэтому она решила попытаться определить число \(\pi\) экспериментально. Для этого она нарисовала квадрат со стороной \(L\) и вписала в него окружность радиуса \(L/2\). Затем она стала бросать в квадрат песчинки случайным образом. Лена рассуждала так: если всего бросить \(N\) песчинок, и \(n\) из них попадут внутрь круга, то будет примерно верно следующее равенство: \(\pi \approx 4n/N\), причём оно будет выполняться тем лучше, чем больше \(N\). Однако, в процессе эксперимента Лене стало понятно, что на точность определения \(\pi\) влияет не только \(N\), но и ряд других факторов. Это и характерный размер песчинки \(d\), и толщина линий квадрата и окружности \(a\), и погрешность измерения всех длин \(\Delta l\). Поразмышляйте о том, как число знаков \(\pi\), которое можно надежно определить таким методом, зависит от всех этих параметров (\(N, L, d, a, \Delta l\)). Считайте, что \(N \gg 1\), \(d/L \ll 1\), \(a/L \ll 1\).