Экспериментальная математика

Условие задачи

Лена интересуется и физикой, и математикой. Поэтому она решила попытаться определить число $\pi$ экспериментально. Для этого она нарисовала квадрат со стороной $L$ и вписала в него окружность радиуса $\frac{L}{2}$. Затем она стала бросать в квадрат песчинки случайным образом. Лена рассуждала так: если всего бросить $N$ песчинок, и $n$ из них попадут внутрь круга, то будет примерно верно следующее равенство: $\pi\approx\frac{4n}{N}$, причём оно будет выполняться тем лучше, чем больше $N$.

Однако, в процессе эксперимента Лене стало понятно, что на точность определения $\pi$ влияет не только $N$, но и ряд других факторов. Это и характерный размер песчинки $d$, и толщина линий квадрата и окружности $a$, и погрешность измерения всех длин $\Delta l$. Поразмышляйте о том, как число знаков $\pi$, которое можно надежно определить таким методом, зависит от всех этих параметров $(N,L,d,a,\Delta l)$. Считайте, что $N\gg1$, $\frac{d}{L}\ll1$, $\frac{a}{L}\ll1$.